2017年长春师范大学线性代数(同等学力及跨学科加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
（1）求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形； （2）求一个可逆阵Q ，使QA T 为行最简形. 【答案】⑴
于是
（2）
且
为A 的行最简形；
于是
并且
为
的行最简形.
2． 在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总
人数不变，且上述人迁移的规律也不变. 把n
年后农村人和城镇人占总人的比例依次记为
和
（1）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等，【答案】（1）这是一个应用问题. 关系式可看做是向量
的递推关系式，从而有
即把应用问题归结为求A
的
遵循这一思路，先求A. 由题设，有
故
的特征向量为
其中，
因此
再求A 的特征值和特征向量. 易求得A 的特征值对应于令
的特征向量为
则P 可逆，且
3． 设
，
，c 与a 正交，且
求
因
对应于
【答案】以左乘题设关系式，得
得
而
正交，有有故
4． 用矩阵记号表示二次型：
（1）（2）（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
5． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知
是它的三个解向量，
且
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.
因R （A ）=3, 则知此齐次方程的基础解系由1个非零解构成，也即它的任一非零解都是它的基础解系. 另一方面，
记向量
且直接计算得
这样，就是它的一个基础解系. 根据非齐次方程组解的结构
，则
知，原方程组的通解为
6． 2阶对称矩阵的全体间.
在
中取一个
某
求T 在基
【答案】对于i=l, 2, 3, 把次看倒
’
下的矩阵.
对干矩阵的线性运算构成3维线性空
在V 中定义合同变
换
中的向量，并记为分别计算基向量在T 下的像如下：
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