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一、证明题

1． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为于是当

时, 有

其中存在正整数

使得当

时, 有

取

则当

时, 有

故

由这个等式不能推出（2）根据极限保号性, 由由平均值不等式有

由（1）的结论可得

再由迫敛性得

如果

则

且

例如

可得

如果

但那么

不收敛.

. 又因为

所以对上面的

则

所以对于任意的

证明:

（又问由此等式能否反过来推出

存在正整数

, 当

时, 有

）;

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因此, 由迫敛性得

2

．

设函数f 只有可去间断点

, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

即当

上

时,

, 则. 综上所述, 有

证明g 为连续函数.

. 对于任给的; 设

, 存在, 由

, 使得当知g 由保不等式故g （x ）在

x 0连续. 由x 0的任意性知

,

g （x ）在D 上连续.

3． 设f 为可导函数

, 证明:若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时即

4． 设

, 证明函数

故

, 得

或存在惟一的零点.

, 所以存在

, 所以f （x

）在

使

.

之间至少存在一个零点.

上单调递增, 所以f （x ）存在惟一的零点.

在单位球面

上的最大

.

, 则必有

或

.

【答案】因为

则由f （x

）显然连续知,

f （x

）在又因

5． 试证明:二次型值和最小值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值. 【答案】设

, 令

①x ＋②y ＋③z 结合④式, 得由①, ②, ③知是对称矩阵

的特征值.

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又f 在有界闭集恰好是矩阵

上连续, 故最大值、最小值存在, 所以最大值和最小值

的最大特征值和最小特征值.

6． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

有

（当

或1时, 考虑单侧极限）

7． 证明:对黎曼函数

【答案】

上的黎曼函数的定义为

对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得

（若

为既约真分数, 则

取

.

若

使得则当

因而p 也只有有限个. 于是在

时, 有

内不含这有限个既约真分数.

则当

则当

故

二、解答题