2017年北京师范大学数学科学学院601专业基础(数学分析85分、高等代数65分)之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1
部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
，其中L 是圆柱面
与平面
的
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，
是所围的圆域。
2． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
则当n>N时，
（3）该级数的各项
，取
（不妨设ε<1）
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
取N=1，则当n>N时，就有
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
3． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，
，，
，所以
，计算得t=2，则：
在在
上单调递增； 上单调递减.
有
上一致收敛。
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
=y+1，所以
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