2017年上海财经大学数学学院816高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数在给定点处的导数：
（1）（2）（3）【答案】（1）
，求，求
和。
；
，求f ’（0）和f ’（2）。
（2）
（3）
2． 设平面区域
【答案】由对称性可得
，计算
3． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使
的t 值;
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, 满足条件的解;
（3）求使【答案】由
的k 值。
, 得
, 故
由（2）令
, 得, 于是所求的解为, 解得
,
,
即
（3）根据题意,
当
。
, 解得k=4, 即得刹车加
速度为
4． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图
5． 求下列微分方程的通解：
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说明：求解线性微分方程组一般采用“消去法”。
1°从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含一个未知函数的线性微分方程，然后求出该线性微分方程的通解，本题的（l ）（2）（3）题采用这种方法来解; 对于学过“线性代数”的读者，可以记
将微分方程组写成代数线性方程组的形式，然后用类似于克拉默法则的方
法，消去一些未知函数而获得一个未知 函数的微分方程，本题的（4）（5）（6）题采用这种方法来解。
2°当用“消去法”求得一个未知函数的通解后，求另一未知函数的通解时，一般不必再积分，否则会出现 新的任意常数.
【答案】（1）将
中①式的两端关于x 求导，得
代入②式得
即由它的特征方程
从而由①，得
故方程组的通解为
解得于是得
（2）将中①式两端关于t 求二阶导数，得代入②式得
即由它的特征方程
再由①，得故方程组的通解为
解得于是得
（3）将代入①式，得
的①+②得即
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