2017年陕西师范大学数学与信息科学学院912数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
2． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，
为球心，以
为半径的球面.
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，使得
3． 求下列向量场A 的旋度
从而结论成立。
【答案】
4． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1）取为平面法向量为
（图1）
由斯托克斯公式
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
图1 图2
（2）如图所示，
取
为平面
的上侧被
所围成的部分
，
的单位法向量
。由斯托克斯公式
现用两种方法来求解法一：由于域的面积=πa ，故
2
的面积A ，而
在xOy 面上的投影区
解法二：用曲面积分计算法。 由于在上，
，则
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