● 摘要
变分不等式广泛地出现在信号图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学、管理学、物理学、非线性分析等领域. 特别地, 科学和工程领域中的许多问题, 如障碍问题、土坝渗流问题、弹塑性接触问题和冰块融化问题, 以及数学规划、互补问题和不动点问题都可以转化为变分不等式问题. 因此变分不等式为求解一大类优化问题提供了统一的框架. 所以, 如何有效地求解变分不等式问题具有重要的理论与现实意义.
近几十年来, 已有许多求解变分不等式问题的算法. 典型的方法有临近点算法、交替方向法、牛顿法、内点法、投影算法、神经网络等等. 其中, 当投影易于计算时, 投影算法因其每步迭代计算量小, 成为求解变分不等式问题最简单的方法之一. 虽然, 应用投影算法求解变分不等式问题已取得了较好的成果, 然而已有的投影算法存在收敛慢或者收敛条件限制太强等缺点. 因此在已有求解变分不等式问题的自适应投影算法的基础上, 本文提出了新的自适应投影算法. 并从理论上, 严格证明了这些算法的全局收敛性, 分析了算法的收敛速度. 这两种投影算法克服了已有投影算法收敛慢且收敛条件太强的缺点. 计算结果表明, 新的自适应投影算法不仅可行, 而且非常有效.
全文共分为四部分, 主要内容如下：
第一部分 预备知识. 概述了变分不等式的定义、意义和一些变分不等式问题的基本理论, 并给出了投影原理、一些关于投影算子的基本性质. 此外, 还介绍了已有的求解变分不等式问题的经典算法, 说明了它们各自的优缺点, 并简述了投影算法的发展.
第二部分 在已有投影算法的基础上, 给出了求解变分不等式问题的一种新的自适应投影算法. 该算法改进了已有自适应投影算法的搜索方向并建立了新的步长. 改进的方向和步长在解附近均不趋于零, 克服了已有投影算法收敛速度慢的缺点. 在映射伪单调的条件下, 证明了算法的全局收敛性, 从而克服了已有投影算法收敛条件限制太强的缺点. 由于采用了自适应准则, 新算法的收敛性能与参数选取无关. 同时, 从理论上严格证明了算法是线性收敛的. 计算结果表明新算法是可行的, 而且非常有效.
第三部分 提出了新的求解变分不等式问题的自适应投影算法. 与第二章算法相比, 新方法采用了不同的步长选取准则. 新的步长在解的附近也不趋于零, 保证了算法具有较快收敛速度. 该算法在映射伪单调的条件下也是全局收敛的, 从而保证算法具有更广的适用范围. 此外, 在理论上严格分析了算法的收敛速度. 数值结果表明, 新算法不仅有效, 而且可行.
最后, 总结了本文的主要工作, 并将从几个方面对变分不等式问题作深入研究.
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