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一、证明题

1． 若d][a, b]，使

是[a, b]上的连续函数列，且

在[c, d]上一致有界.

在任意闭区间

使

有使得

满足

且

由闭区间套定理，

无界，则数列

2． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在

【答案】令

续，在(a , b ) 内可导，

且有得

. 即

3． 证明下列等式：

【答案】(1) 令

则

于是

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数列都有界. 试证明：存在闭区问[c，

上都非一致有界，即

由连续

使

有

且

【答案】用反证法. 假设

使

因为函数的保号性，

又因为

如此下去，可得一个闭区间列

在

由连续函数的保号性，

在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,

使得

且

上非一致有界，所以对k=2，

有

其中使

即数列

的某一个子列

无界. 这与已知条件矛盾.

使得

由f (x ) 在

上可导可知，F (x ) 在

上连使

故由罗尔中值定理知，

存在

(2) 由

可知

是瑕点. 令

则当

时，

由⑴得

二、解答题

4． 求下列函数的导数：

（1）（2）（3）（4）（5）（6

）

以及

（7）（8）【答案】⑴

（2）对等式两边关于x 求导得

当x=0时，由原方程解得y=0, 将x=0, y=0

代入上式得（3）令

则

于是

解得

（4）易知对

两边取对数得

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在点x 三阶可导，

且

>

表示

.

若

存在反函

数

试用

两边再关于X 求导得

于是

（5）对等式即

于是由参变量函数求导法知

两边关于t 求导得

又

（6）

（7）由题

知

存在，

所以

在点a 的某邻域内有定义且连续，于

是

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