2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵， 经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B , 则下列结论：
同解
同解
中正确的是（ ）。
【答案】C
【解析】A 经过若干次初等行变换得B. 即存在可逆阵P ，
使故有
注意
故
2．
设
A.
如果
B.
如果C.
如果
D.
如果【答案】C
【解析】A 项，如
果
线性无关.
BD 两项，
考察向量组
中任意三个向量均线性无关，
但线性相关.
C 项，因为四个三维向量必线性相关，
如若性表出，
现
不能被线性表出，
故
线性无关，则
必线性相关.
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（P 是若干个初等阵的积）
反之
成立.
两边左乘P ,
有
故两边左乘
不成立.
成立. 又若存在x ，
使
得因为
故
不一定为1，
故
必有
同解
不成立.
又若
是二维非零向量，则正确命题是（ ）。 线性相关
线性无关，
则
不能用
线性表出，
则
中任意三个向量均线性无关，则
线性相关，
则
线性相关 线性无关 一定线性相关
线性无关
则
可知线性相
关
必可由
线
3． 设n
阶矩阵
A.0 B.2
C.
D.
【答案】A
【解析】
由已知条件知
若行列式则=（ ）。
将的各列加到第一列得
4． 设A 是三阶矩阵，其特征值是1, 3, -2, 相应的特征向量依次
为
则
A.
（ ）。
若
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
由
当于
有
即当
的特征向量.
同理
是矩阵A
属于特征值仍是矩阵A
属于特征值
的特征向量时
，
的特征向量。
是属
仍是矩阵A
属于特征值
时，P 由A 的特征向量所构成，由A 的特征值所构成，且P
与的位置是对应
的特征向量，所以一2
在对角矩阵中应当是第2列.
一致的. 现在，矩阵A 的特征值是1, 3，_2，
故对角矩阵应当由1，3, _2构成，又由于
5． 设A 是n 阶矩阵，|A|=A，A 的每列元素之和为k ，则A
的第一行元素的代数余子式之和
=（ ）
A.kA
B. D.
C.-kA
【答案】B
【解析】将|A|的第2, 3, …，n 行元素加第1行，得
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显然|A|，|B|第1行元素的代数余子式是相同的. 即
二、填空题
6．
向量组性无关组是_____.
【答案】
（不惟一）
【解析】向量作行变换，有
因为矩阵中有3
个非零行，所以向量组的秩为3, 又因非零行的第一个不等于零的数分别在1, 2, 4列，所 以
是向量组
7． A 、B 都是n 阶矩阵，
【答案】
【解析】
由AB = 0，知矩阵B 的列向量是方程组AX=0的解，
则
则
8．
设
是三阶矩阵，
则满足.
的所有的
_____.
又
故
的一个极大线性无关组
. 则
_____.
，
的一个极大线
【答案】
【解析】将B 按列分块， 设则
是齐次线性方程组
作齐次线性方程组
其中是任意常数
故
的解向量.
并求出通解.
都
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