2018年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
3．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
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此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为
故其通解为
k 为任意常
数.
4． 求个齐次线件
JTP 技使它的场础解系由下列向量
成.
【答案】由题意，设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
二、计算题
5． 设
是m
阶矩阵
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值
.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A
是矩阵AB
的任-
非零特征值
，是对应于它的特征向量
. 即有用矩阵B 左乘上式两边，得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
事实上，由