2017年长江大学应用数学617高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）.
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
【答案】（C ） 【解析】设
则A 与B （ ）.
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
于是
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
二、分析计算题
6． 设A 为顺序主子式都不是0的n 阶方阵. 证明：A 可唯一分解成A=FDS, 其中D 为可逆对角方阵，F 与S 分别为主对角线上元素全是1的下与上三角形方阵.
【答案】由上题知，A 可分解为可逆下、上三角形方阵B , C 之积. 于是
即得.
设A 有这样两种分解:
则得
此等式左端是主对角线上元素全为1的下三角形方阵，而右端是上三角形方阵，故必
从而
7． 设半正定二次型子空间.
【答案】证法1:由题设，可逆矩阵P , 使
令
分别取
取则
令
有
又若
令
则
即
的前r 个分量全为0.
于是又得
的秩为r , 则
旳实数解是
的一个n —r 维
的全体X 构成. 显然，其维数为
综上可知，集合证法2:因为A 半正定， 所以有实矩阵C 使因为
为满足
（这里r （A ）=r（C ）=r）.
即故
与CX=0同解. 的实数解构成
的一个n —r 维子空间.
而r （A ）=r（C ）=r, 所以线性方程组CX=0的解空间维数为n-r.
相关内容
相关标签