2017年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B
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则线性方程组（ ）•
是（ ）二次型.
【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
的3个线性无关的解，为任意
二、分析计算题
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6． 设m ，n 为正整数且又计算以下n 阶行列式
【答案】根据组合公式行，得
故可从D 的第n 行开始，由下而上，每行都减上一
再对第行如法炮制，如此继续下去，即得一个主对角线上元素全为（即1）
的上三角形行列式，因此，D=l.
7． 设四元线性方程组（I ）为
又某线性方程组（II ）的通解为求（1）方程组（I ）的基础解系；
（2）方程组（I ）与（II ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解. 【答案】（1）对方程组（I ）的系数矩阵作初等行变换，有
所以方程组（I ）的一般解为
其一个基础解系为
（2）解法1:因为（II ）通解为这里以
为行作系数阵得方程组
其一个基础解系为方程组（II ）可取以
为行作系数矩阵所得方程组：
方程组（I ）、方程组（II ）联立，解得一个基础解系
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’是方程组（II ）的基础解系，