2017年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
2． 设A 是矩阵，
为一非齐次线性方程组，则必有（ A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
有零解.
3． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
第 2 页，共 50 页
. ）
又因为
即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
使
因此A 与B 合同. 4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
=（ ）.
二、分析计算题
6． 设列空间从而
设今在
为数域K 上n 阶满秩方阵，其中是齐次线性方程组
则因为中各取一基
故
因此下证
线性无关：设若
则
第 3 页，共 50 页
为A 的两个子块（按行分块）. 证明：n 元
的直和.
的解空间
AX=0解空间为【答案】因为A 满秩，故AX=0的解空间是零子空间，但由第22题知，
从而
故 7． 设令
求W 的维数与一组基. 【答案】解法1由
个矩阵
即（9）线性无关. 但
维数是n ，故
则V 关于矩阵加法及数乘运算构成P 上的线性空间，A 为V 上的一个固定矩阵，
线性相关，设式（6-7）中自左至右第一个能用前面的矩阵线性表示的矩阵是Am , 我们证明
是V 的基. 事实上，由则E 线性无关；由A 不能用E 线性表示，则E , A 线性无关；如此进行下去
知（6-8）线性无关. 由示，于是
线性无关. 这里注意到
或
由带余除法定理可设
于是
可以用（6—9）线性表示，则（6-9）是W 的生成元，故（6—9）是W 的基，
的次数为m ，则
可以用（6-8）线性表示，则故
可以用（6-8）线性表
有f （A ）可以用（6-8）线性表示，故（6-8）是V 的基，且解法2设A 的最小多项式
从而
8． 在欧氏空间V 中
（1）若向量
等长，证明：
正交，作出几何解释；
S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，（2）设V 是n 维的，证明：是V 的子空间，且
【答案】（1）因为
，所以
几何解释：表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有且
故S
和
第 4 页，共 50 页
仿上题可证是V 的予空间，且故①成立，
是同一子空间&的正交补，由正交补的惟一性，即证②.