2017年长江大学应用数学617高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
的解，则（ ）。
都是4维列向量，且4阶行列式
分别为A ，B 的伴随矩阵，
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设
的解空间分别为
则
所以
即证秩
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设
且
全不相同，i=l, 2，... ，n ，求证：方阵
为正定矩阵.
设
【答案】证法1 用数学归纳法证明A 的顺序主子式：全大于0. 显然
每行都减最后一行，得
每一列都减最后一列，得
由归纳原理知所有的顺序主子式全大于0, 故A 正定. 证法2
则
下证
线性无关，令
两边对t 求导，得
令t=0, 得线性方程组