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一、计算题

1． 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？

【答案】（1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：

所以得

（2）若采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：

=“前三局甲胜”，

=“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜”，

=“前四局甲乙各胜二局，第五局甲胜”， 所以得

所以五局三胜制对甲更有利.

2． 设二维随机变量

【答案】记因为

服从D 上的均匀分布, 且D 的面积

, G 的面积

3． 设

【答案】

的联合密度函数为：

设

是0的任一无偏估计，则

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在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布,

试求

所以所求概率为

求a 和的UMVUE.

即

将（*）式两端对a 求导，并注意到

有

这说明于是

即

又

从而

是a 的UMVUE.

我们将（**）式的两端再对a 求导，得

由此可以得到出积分为0的项，有

这表明记

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下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指

由此可得到由于

所以，

故

是

的UMVUE.

4． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

5． 设电路由A ，B ，C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3，0.2，0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：

（1）A ，B ，C 三个元件串联； （2）A ，B ，C 三个元件并联；

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因而

6点出现的次数

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

而当

时, 由于

与相互独立, 所以