2016年大连理工大学运载工程与力学学部数学之高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
2． 求下列函数所指定的阶的导数:
求
求
。
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
【答案】（l ）利用莱布尼茨公式
其中
（2）由
及布莱尼公式
3． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，
要满足
，求得
。
。问x 为何值时，[0，x]一段
4． 求下列含参变量的积分所确定的函数的极限：
【答案】
5． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
6． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
二、证明题
7． 验证
【答案】由
及
都是方程，得
的解，并写出该方程的通解。 由
，得
因
故y 1与y 2都是方程的解。 又因
8． 证明方程
【答案】
设当当
时，时，
常数，故y 1与y 2线性无关，于是方程的通解为
，其中a>0, b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。
，则f （x ）在闭区
间，
，由零点定理，即知
就是满足条件的正根。
使
上连续，
且，即为原方
程的根，它是正根且不超过a+b;
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