2016年渤海大学数理学院、新能源学院数学物理方法(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令由此时
, 即
:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
,
所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
, 即
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
2． 设反常积分
【答案】因为收敛，即
绝对收敛。
的均匀圆弧（线密度
）的质心。
收敛。证明反常积数
，由于
绝对收敛。 收敛，
也收敛，因此
3． 求半径为a 、中心角为
【答案】取坐标系如图所示，则由对称性知又
，故
（也可由圆弧的弧长公式直接得出）
所求圆弧的质心的位置为。
图
4． 利用高斯公式计算曲面积分：
（1）
成的立体的表面的外侧；
（2）（3
）
的表面的外侧；
（4）
围成的立方体的全表面的外侧。
【答案】
，其中是平面
所
，其中为球面
的外侧；
，其
中
为上半球
体
，其中为平面
所围
5． 方程
【答案】将已知方程整理成
所以此方程表示以（1，﹣2，﹣1）为球心，以
为半径的球面.
6． 甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少?
【答案】设从中午十二点整起，经过t 小时，甲船与乙船的距离为
故速率
当t=1时（即下午一点整）两船相离的速率为
表示什么曲面?
二、证明题