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一、分析计算题

1． 在全体正实数集合

又由于

有

所以2是线性空间V 的一个基,

2． 设2, 1, —1为三阶方阵A 的特征值, 且对应的特征向量分别为以下三个向量, 求

A.

【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异, 故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵

且

并且A 可对角化, 即有

从而

3． 设

【答案】先证必要性. 因为

所以存在

使得

此即再证充分性. 因为

所以

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中, 规定可验证V 构成R 上线性空间, 求

必线性无关. 不妨令

【答案】该空间中零元素为1, 所以任取非零正实数

则

同理

4． 下列n 阶方阵可否对角化？若可对角化, 求可逆方阵P 使

【答案】易知-1.

①若而令

则易知

且.

有基础解系:

有基础解系:

从而可知A 的最小多项式为

为对角矩阵:

无重根, A 可对角化且其特征根为1或

则P 可逆且

②若

则易知

且

有基础解系:

而令

有基础解系:

则P 可逆且

5． 设

A 为n 阶方阵. 证明：

则

由定理可得，

故

得：

【答案】设又因

反之，设

于是必

即

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6． 设是实系数多项式，且

（1）

（2）

则能被整除. 【答案】证法

1 ，整理有

但则

类似可证

证法2

代人（1），（2）得

解得

类似将

代入，可得

故

7． 设A 为数域F 上的

矩阵，其秩为r ，试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：

【答案】因为

所以存在m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q , 使

首先，如

即

则有

令这里B 为r 阶方阵.

则式等价于

则

所以

其次，由式

直接验证可知

所以，满足

的所有解为

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