2017年中山大学数学与计算科学学院663数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是无界数列，无穷大数列. 证明：
必为无界数列.
时，
有
【答案】
因为
是无穷大数列，所以对任意大正数M>0, 存在自然数N ，
当又因为
是无界数列，
所以总存在
有
因此
无界数列.
二、解答题
2． 试求下列极限(包括非正常极限) ：
【答案】(1) 因为当时，
故
(4) 由于当
时，
又因为
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即
是
从而当财，
故原式=+∞ (5) 因为(6) 因为当
时
故
(7)
令
3． 设f ，g 在
上可积，
和
分别表示f 和g 的傅里叶系数，则
【答案】写出f+g和f-g 的巴塞伐尔等式：
将上两式相减可得结论.
4． 计算二重积分
其中是双纽线【答案】令
则双纽线方程为
围成的区域.
(如图) :
图
由于区域和被积函数关于x 轴对称，故
5． 叙述数集A 的上确界定义，并证明：对任意有界数
列
【答案】若存在数满足下面两条：
（1）
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总
有
（2）则称令
一定存在
为数集A 的上确界，即supA=a.
则
6． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
其中
【答案】(1) 因
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
(2) 因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
7． 设
和
其中
表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明
只有有限个点
使
在X 为有理数划
因此
在D 上的二重积分存在而两个累次
因而存在一个分割T , 使
得
在球面上，所以原式=0
在球面
上。
积分不存在.
【答案】因为对任何正
数当y 取无理数时，
然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数
在任何区间上的振幅总大亍
即函数
以二重积分存在且等于零.
上关于X 的积分不存在. 显
然就不存在先x 后y 的累次积分.
同理可证先y 后x 的累次积分不存在.
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