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一、证明题

1． 设f ，g 在点连续，证明：

(1) 若(2) 若在某

【答案】(1) 令

切

.

(2) 因为f ，g

在点不等式性可得

2． 证明：若f 在

【答案】

设

这与题设矛盾. 故

3． 1) 证明：若数列

于是，当连续，所以

上连续，且对任何

设即f

在

上恒正.

则f 在由题设

知时同理可证f (x ) 恒负. 是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列. (2) 因为

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

，由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N上恒正或恒负.

假

如

使得

那

么

则存在内有

使在其内有则则

时

由f ，g 在点

在

内

和极限保

连续可知，F (x ) 在

使得对一

存在

某

也连续. 根据连续函数的局部保号性，对任何正

数

异号，由根的存在定理知，在区间内至少存在一点

满足下列条件之一，则

在正整数N ，使得当n>N时，

2)(1)

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

所以

故

二、解答题

4． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：

(1) (2)

【答案】(1) 因为

而当

时有

所以

即当当

时f (x ，y ) 连续. 时，由于

所以f (X ，y ) 在点(0, 0) 不连续. (2) 函数的定义域为当

时，由初等函数的连续性知f (x ，y ) 连续. 下面只考虑x=0(即y 轴) 上点的连续性. 对y 轴

上任一点当时有于是

则f (x , y) 在y 轴上处处连续，故f (x , y) 在其定义域上是连续的.

5． 将函数

【答案】记

因为

展开为傅氏级数. 是奇函数，所以

且

即得

6． 设

为可导函数. 证明：

并利用这个结果求（1）

为元素的n 阶行列式

表示将

【答案】令D （x ）表示以函数的第k 行换为

其余元素都不变的行列式，根据行列式的定义