2017年中央民族大学理学院638数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是
沿曲线L 的外法线n 的方向导数.
【答案】在格林公式中，以P 代替
代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. (1) 在
中令
则得
即
(2) 在
中，令
则得
即
(c ) 式减
式得
2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均
不
是则
为
的聚点，
则
使
得
为有限点集.
记中有限个邻域
显然若有聚点，则必含吁
中. 假设
的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存
在
使得
由于在
3． 设
中至少有一个聚点.
为
上严格增的连续曲线(图) . 试证存在
使图中两阴影部分面积相等。
. 为有限点集
所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故
图
【答案】作辅助函数
则
在
上连续可导. 由
为严格增函数可得
由根的存存定理. 存
内存在一点
使得
即
上式两端恰为两部分面积，故证得结论。
二、解答题
4． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
(1) (2
)
线，其方向按曲线依次经过
【答案】(1) 曲线的参数方程为
依次经过1，2, 7, 8卦限，于是
(2) 记球面图所示，则
与xy 平面的交线为
与yz 平面的交线为
与zx 平面的交线为
如
其中L 为
与
相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L 为球面
平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.
当从0增加到
时，
点卦限；
在第一卦限部分的边界曲
图
其中
依
同理，
所以
5． 求密度为的均匀球面
【答案】因
则
对于z 轴的转动惯量
相关内容
相关标签