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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.

【答案】

其中

若等号成立, 则对任何即

2． 倘若例. ）

【答案】不一定. 如反例:设数列

为

为

是有界数列.

则f

显然, 这两个数列都是无界数列, 但是

、 , 有

,

所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数. 都是无界数列, 试问

是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反

, 其中等号仅在f （x ）为常

3． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，故f （X ，y ）=常数.

4． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】

记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x

1和x 2在

和

上积分

, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

二、解答题

5． 设

其中f 为可微函数，验证

【答案】设

则

所以

6． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故

所以f 的傅里叶级数展开式为

（2）因为f 在

上除x=0外都连续, 故当

又当x=0时, 级数收敛于

当

时, 级数收敛于

由此可见, f 的傅里叶级数在由于f 在

连续性相矛盾, 故f 的傅里叶级数在

7． 已知平面区域

（1）（2）

【答案】（1）方法一 由于

左边=右边

=

所以欲证的等式成立. 方法二

由格林公式,

有

左边=

因为D 关于直线y=x对称, 所以左边=右边. （2）方法一由（1）, 利用平均值不等式得

方法二由（1）得

8． 计算

a ＞0, b ＞0, c＞0.

右边=

上收敛于f.

上一致收敛于f , 这就与f 的不

上不一致收敛于f.

, L 为D 的正向边界. 试证:

_上不连续, 由连续性定理, 若级数在

, 且

时, 有

【答案】解法一:这是一个第二类曲面积分, 不妨设其方向为外法线方向.