2018年兰州大学草地农业科技学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1. 设数为
是来自均匀分布
的样本,的先验分布是帕雷托(Pareto )分布,其密度函
,其中与是两个已知的常数.
(1)验证:帕雷托分布是的共轭先验分布; (2)求的贝叶斯估计. 【答案】 (1)要使
与
与的联合分布为同时成立,必须’
,所以的后验分布为
,
这是一个参数为
与
的帕雷托分布,因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
(2)若选用后验期望估计,则
2. 若总体X 服从如下柯西分布:
而
是它的一个样本,试求的估计量.
的估计量.
最小,则得
,很难说是
的一个合适的估计量,
【答案】由于柯西分布不存在数学期望,因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法,即使
因为这时无偏性、有效性都失去意义,而且与同分布,
说明也没有起到汇集的信息的作用,因而,这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此,我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解,比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数,因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看,该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.
3. 某电子计算机主机有100个终端,每个终端有互独立的,试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数,则心极限定理,所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为
4. 已知
的联合分布列如下:
试求: (1)已知
的条件下,X 的条件分布列,
(2)X 与Y 是否独立? 【答案】(1)因为
所以在给定
的条件下,X 的条件分布列为
在给定
的条件下,X 的条件分布列为
的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相
利用棣莫-拉普拉斯中
(2)因为所以由 5. 设
与
独立同分布,其共同分布为
试求
知X 与Y 不独立.
与
的相关系数,
其中a 与b 为非零常数.
【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差
.
然后计算Y 与Z 的相关系数
.
6. 设
是来自正态总体
的一个样本,对
考虑如下三个估计
(1)哪一个是
的无偏估计?
,从而
这说明仅有
是
的无偏估计,而
与
是
的有偏估计.
而
,这给出
于是
显然
,所以
的均方误差最小.
(2)我们知道,估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方,即
(2)哪一个均方误差最小? 【答案】(1)由于
,故有
7. 在区间(0, 1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定,在区间(0, 1)中随机地取两个数分别记为x 和y ,则
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