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2018年兰州大学草地农业科技学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库

  摘要

一、计算题

1. 设数为

是来自均匀分布

的样本,的先验分布是帕雷托(Pareto )分布,其密度函

,其中与是两个已知的常数.

(1)验证:帕雷托分布是的共轭先验分布; (2)求的贝叶斯估计. 【答案】 (1)要使

与的联合分布为同时成立,必须’

,所以的后验分布为

这是一个参数为

的帕雷托分布,因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

(2)若选用后验期望估计,则

2. 若总体X 服从如下柯西分布:

是它的一个样本,试求的估计量.

的估计量.

最小,则得

,很难说是

的一个合适的估计量,

【答案】由于柯西分布不存在数学期望,因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法,即使

因为这时无偏性、有效性都失去意义,而且与同分布,

说明也没有起到汇集的信息的作用,因而,这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此,我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为

这个方程只能求数值解,比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数,因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看,该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.

3. 某电子计算机主机有100个终端,每个终端有互独立的,试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数,则心极限定理,所求概率为

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为

4. 已知

的联合分布列如下:

试求: (1)已知

的条件下,X 的条件分布列,

(2)X 与Y 是否独立? 【答案】(1)因为

所以在给定

的条件下,X 的条件分布列为

在给定

的条件下,X 的条件分布列为

的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相

利用棣莫-拉普拉斯中

(2)因为所以由 5. 设

独立同分布,其共同分布为

试求

知X 与Y 不独立.

的相关系数,

其中a 与b 为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

6. 设

是来自正态总体

的一个样本,对

考虑如下三个估计

(1)哪一个是

的无偏估计?

,从而

这说明仅有

的无偏估计,而

的有偏估计.

,这给出

于是

显然

,所以

的均方误差最小.

(2)我们知道,估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方,即

(2)哪一个均方误差最小? 【答案】(1)由于

,故有

7. 在区间(0, 1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于7/5”的概率.

【答案】这个概率可用几何方法确定,在区间(0, 1)中随机地取两个数分别记为x 和y ,则