2018年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
2． 设随机变量X 取值
【答案】
3． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
所以
故
是实的偶函数.
4． 用概率论的方法证明:
【答案】设
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
的概率分别是. 证明
:
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
的泊松分布
故
服从参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
5． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知 6． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
知从而
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服从大数定律.
分别为样本的均值
也相互独立,
所以
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
时,
相互独立知,
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
① ②
将①, ②代入可得
从而得到目的最大似然估计量为
7． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
8． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
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间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若