2017年河南师范大学507数学分析与高等代数之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 在什么条件下，函数
【答案】（1）设c=0,
此时
可见，当c=0时，
当且仅当
（2）设
此时
的反函数就是它本身？
要使反函数存在必有
或
的定义域为
要使它的反函数存在，必须有除当成立.
综上所述，当且仅当
并且a+d=0或
时，函数
的反函数
就是它本身.
2． 直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受浮力。
【答案】如图所示，球面在水深x 米处所受压力的微元为
故球面所受总压力为
由力的平衡可知，球面所受浮力为
它的反函数是
等式由此可知，当
要对时，当且仅
时也
函数
的反函数是
即（a+d）（a —d ）=0, b （a+d）=0.
时，它的反函数就是它本身.
它们是同一函数的充要条件是
外的一切实数成立. 去分母后，再比较x 的系数，得到
时，它的反函数就是它本身. 另外，注意到在情形（1）中，
图
3． 设
在
上连续，求证：
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果在上不变号，则
即要证的不等式成立. （2）如果又因为故有
在在
上变号，则存在上连续，存在
使得
（用微积分基本定理）
即要证的不等式成立.
4． 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：
在x=l处；
在x=0处.
【答案】
当n>3时当n>3时
于是，
故所求泰勒公式为
其拉格朗日型余项为
0.
于是
故
5． 求下列极限：
（1）
（3）（5）
（2）
（4）（6）
使得
（7）【答案】（1）
（8）
（2）（3）（4）
（5）
（6）
（7）（8）
6． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
(1) (2
)
线，其方向按曲线依次经过
【答案】(1) 曲线的参数方程为
依次经过1，2, 7, 8卦限，于是
其中L 为
与
相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L
为球面
卦限；
在第一卦限部分的边界曲当从0增加到
时，
点
平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.
(2) 记球面图所示，则
与xy 平面的交线为
与yz 平面的交线为
与zx 平面的交线为
如
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