2017年淮北师范大学数学基础之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积，
【答案】设区域
那么在变换
下，区域
波 对应地映为
此时有
于是有
因此，所求面积为
2． 在xy 平面上求一点，使它到三直线
【答案】设所求的点为距离为
它到三直线的距离平方和为
由
得因为
的极小值点，由实际意义知，其为Z 的最小值点，最小值为
3． 确定常数
【答案】
于是
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及
，
到
的距离平方和最小. 的距离为
到
的
它到x=0的距离为
因此
为z
使当时，为x 的3阶无穷小.
欲使
为三阶无穷小量，必须有
解之得
4． 设
定义在
上
在处有左、右导数；令
使
又设
证明:存在子列
【答案】而
由致密性定理，
令
则
有收敛子列使
5． 若
【答案】
6．
设
为
证明
为常值函数。
则
在
上连续，且
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求
上连续函数，且对任一满
足的连续函
数
有
【答案】令
由题设有
于是
从而
即
为常数。
二、证明题
7． 证明：函数项级数
【答案】由于对任意
的
，
有
在
在
上不一致收敛，但和函数在所以存
在
〈一致收敛于0, 从而使
得
且由根式判别法易知
|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在
在
上无穷次可微.
上不一致收敛. 由于对任意
的
收敛，
所以
上无穷次可微. 由
1上无穷次可微. 的任意性可知和函数在
8． 设是一个严格开区间套，即满足
且
证明：存在惟一的一点使得
【答案】由题设知
，
又
因
9． 证明：若正项级数
收敛，且数列
单调，则
是一个闭区间套. 由区间套定理知，
存在惟一的点
所
以
使得即
存在N , 当n>N时，有
【答案】因为正项级数收敛. 故由柯西收敛准则，任意的正数
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