2018年广西大学数学与信息科学学院855高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
所以
3． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
若选故选B.
, ，从而否定C ,
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
5． 设A 、B 为满足
, 故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关
，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A
的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于
性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
知，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
二、分析计算题
6． 设
①若②若
为n 阶实方阵. 证明：
则A
的列向量组
线性相关，故存在不全为0
的实数
使
【答案】①反证法.
设若
即有
不妨设
则由上第一个等式得
从而②令
与假设矛盾. 故
则是x 的实系数多项式，从而当时由假设得
且由①知，对设若
7．
线性空间
这里
【答案】）设有则所以有
即
中有X 。伤
中任何实数X 都有
但显然以矛盾. 因此必
的和是直和的充要条件是
特别地，
于是由连续函数性质知，
在
中至少有一个向量
可唯一地表示为
）按直和的定义, 必要性显然
.
且有唯一分解所以存在非零向量
这样得
如果
不是直和,
. 又因为子空间的交仍是子空间,
即得的两个不同分解式, 与分解式唯一性相矛盾.