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一、填空题

1． 设

则

之秩S 与

可由

线性表示.

之秩t 的关系是_____.

【答案】

【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以

①

将①式两端分别减去

得

此即

可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，

2． 设

其中，【答案】【解析】因

则线性方程组

所以

的解是_____. 有唯一解，

由克莱姆法则，并结合行列式性质，立知 3．

【答案】【解析】

_____

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4． （1）线性方程组

（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令

有解的充分必要条件是_____

矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____

由向量组

线性表示，则

一定_____

（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；

Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；

（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维

V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩（2）

（3）线性相关.

（4）0; 至少有一个不为0.

（5）（6）

（7

）（8）0；

P 【解析】（3）因为

线性相关.

（5）令

那么

（7）因为维（8）取

的一组基为

维

维则

维

可由

线性表出，

所以秩

秩

此即

，其中T 为n 级可逆阵.

中，线性变换秩

则维（V 1+ V2）=_____

则D 的特征值是_____，D

的核是_____

D 的特征值全为0, 且

（因为常数的导数等于0）.

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二、分析计算题

5． 设T 是数域K 上线性空间矿的一个可逆线性变换. 证明:

①T 的特征值都不等于零； ②若

是T 的特征值, 则

是

的特征值.

是T 的属于0的特征向量, 则

矛盾.

【答案】①反证法 设若T 有特征值0, 而又因为T 可逆, 故

因为T 可逆, 由①知

即

6． 线性方程组

亦即

为

与

②设为T 的属于特征值的特征向量, 即

且由上可得

的一个特征值.

的系数矩阵为

设

是矩阵中划去第列剩下的

那么方程组的解全是

矩阵的行列式.

是方程组的一个解；

的倍数.

（1）证明:（2）如果A 的秩为【答案】（1）考虑行列式

对最后一行展开，就是

即

（2）若的秩为现在

是原方程组的一个解.

则方程组基础解系中只有一个解. 任一解皆为它的倍数.

必有一

个

阶子

式

即有

某

于

是

取定一个非零解，它也是基础解的倍数，且构成基础解系，于是任一解是该非零解的倍数.

A

的秩

为

是非零解，故任一解皆是它的倍数.