2018年福州大学数学与计算机科学学院818高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设
与
的解空间分别为
则
所以
即证
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
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的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
则为（ ）.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
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方法2所以当方法3设
则
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
是（
）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
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从而否定D , 故选B.
5． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（
）.
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6．
设
是n 维线性空间
V 的线性变换,
设
核空间
所以同理又因为
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表示的核空间, 求证:
【答案】在V 中取一组基
中所有向量关于
的坐标实际上是的解空间,
在下对应矩阵为AB , 所以