2017年中南民族大学数学与统计学院858高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
，
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
4． 齐次线性方程组
【答案】B 【解析】
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C. 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
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使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 证明：子空间的和
【答案】由于因此，若使
设
且
是直和，当且仅当
故
是直和，则由上及（1）知，（2）成立.
不是直和，则表示法不唯一，即存在不全为的向量
则由上得
这与（2）矛盾，故
7． 设向量
（1）求向量组
的秩；
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反之，设（2）成立，但
是直和.
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