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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

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【答案】（C ） 【解析】设

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 6． 设

秩

未知量个数，

二、分析计算题

是数域K 上线性空间V 到的一个双射. 证明：

是同构映射，则

反之，若上式成立，则取从而为同构映射.

7． 设V 为有限维线性空间，为非零子空间，如果存在惟一的子空间使 试证明之.

【答案】用反证法若取

的一组基

设

则

并扩大为V 的一组基

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是同构映射当且仅当

【答案】若

分别得

（直和）则，

则再令

令

由于

则

上③式右端的矩阵行列式值为1, 可知基. 因此

下证

用反证法，若

则有

线性无关，从而也是V 的一组

这是不可能的. 因为由

有

再由②知

的项.

矛盾.

8． 写出4级行列式中所有带有负号并且包含因子

【答案】

9． 设A ，B ，C 是

并计算E+ADB=?

【答案】（E-BA ）D=（E-BA ）（E+BCA） =E-BA+BCA-BABCA=E-BA+B（E-AB ）CA =E-BA+BA=E，

又D （E-BA ）=（E+BCA）（E-BA ）=E-BA+BCA-BCABA =E-BA+BC（E-AB ）A=E-BA+BA=E.

又由C （E-AB ）=（E-AB ）C=E，得E+CAB=E+ABC=C.则E+ADB=E+A（E+BCA）B=E+AB+ABCAB=E+AB

（E+CAB）=E+ABC=C，故E+ADB=C.

10．设A ，B 为n 阶矩阵，

（2）设

【答案】（1）由假设知A 有零化多项式进而设是A 的特征值，则

证明：

则B 的特征值都是1次单位根.

且

所以A 相似于对角阵.

即A 的特征值均为1次单位根. 此即

且（2）已知

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方阵，

试证：

（1）A 相似于对角阵，且对角线元素皆为1次单位根；