2017年广西师范学院离散数学之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
2． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
令
证明H 是对称的正交阵.
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
对应特征值
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量对应特征值
解方程（A-2E ）x=0，由
得单位特征向量
对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由
得单位特征向量
令则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f 化为标准形
（2）二次型的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值为对应
解方程（A-2E ）x=0,
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应解方程（A+E）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵. 再作正交变换x=Py,
3． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
即化f 为标准形：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.
4． 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
【答案】记
，则
于是当a=-1或a=2时，detA=0, 即
5． 设n 阶矩阵A 的伴随阵为
（1）若
（2）【答案】⑴因
要证与
则
当
时，上式成为
是可逆矩阵，用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
用反证法：
设
由矩阵可逆的充要条件知.
时，结论成立；
于是
6． 已知
（1）能由（2）不能由
，故
（2）方法二：（1）
无关）；又，表示.
（2）反证法：若能由
线性表示，而由（1）, 可由
知此时向量组线性相关.
证明：
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，当（2）分两种情形： 情形1:情形2:
由（1）,
在两边取行列式，得
证明
线性表示；
线性表示.
【答案】方法一：（1）由，知则知能由，则知不能由
向量组向量组
线性无关
线性相关. 于是，必能由
，又己知
线性表示； 线性表示. （惟一地）线性
线性无关（整体无关则部分
线性表示. 这样，也就能
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