2017年常州大学材料学院601理学数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、解答题
1． 设函数
【答案】由
，其中F 有二阶连续偏导数，求
可得
2． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
。
【答案】（l ）一阶; （2）二阶; （3）三阶; （4）一阶; （5）二阶:（6）一阶.
3． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解
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，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
当t=60（s ）时，
4． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，令。
。
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
。
，有
，积分得
, 令
，即，积分得
，有
，则原方程成为，即
，则原方程为
，即
。
。
，即
。
。
。 ，有
，则原方程
，
有
，则原方程为
，即
有
，
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
（3
）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
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将代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
即
。
。令 ，即
，将
。
代入上式，得通解
。
，即
，有
。
5． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
不是当时的无穷小。
6． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因
7． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得 8． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
，代入
即
得
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
于是所求积分曲线的方程为
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