2016年昆明理工大学国土资源工程学院F001高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 问a , b 为何值时, 点（1, 3）为曲线
【答案】令当当当由于
时,
在的两侧变号, 故点, 得
。
时, y”<0, 因此曲线在时, y ”>0, 因此曲线在
上是凸的; 上是凹的;
为曲线的惟一拐点。
的拐点?
从而要使点（l , 3）为拐点, 则
解得
2． 求函数
【答案】
, 。
的泰勒公式。
在点
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
3． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
图
故
圆锥体积
4． 设数列
满足条件：
=3，
=1，
.S （x ）是幂级数
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，因为S （x ）
=
因为
，所以
的收敛半径为+∞.
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
5． 求均匀曲面
【答案】设质心位置为在xOy 面上的投影区域
的质心的坐标。
。由对称性可知质心位于z 轴上，故
。由于
。
=2，
=1，所以
.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
（2）由题意知，齐次微分方程
又的面积
，故
所求的质心为
6． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
及
及
及
。
和，于是
因此
及
；
（含有z 轴的部分）
【答案】（1）解法一：
利用直角坐标计算。由
，即在xOy 面上的投影区域D xy 为
消去z ，解得
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