2018年青海民族大学数学院731高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设
与
的解空间分别为
则
所以
即证
2． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
3． 设A 、B 为满足
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
则
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则当（ ）时，此时二次型为正定二
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当，
即
5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
则分块矩阵
二、分析计算题
6． 设A 是三阶方阵且
【答案】由又由 7． 设
其中【答案】将
正交化得
再单位化，即得
的一组标准正交基:
是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，
，求
的一组标准正交基.
，
得
证明：
故
故得所要结论.
与
中一个的秩是1, 另一个的秩是2. 又
因故
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