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一、证明题

1． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

2． 设

则

服从大数定律.

的方差

一致有界，即存在常数c 使得

有

. 又设

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知 3． 设分统计量.

【答案】由几何分布性质知，

其分布列为

在给定

后，对任意的一个样本

有

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服从大数定律.

的样本，证明

是充

是来自几何分布

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

个

和个

譬如

这n 个分布，且

把此序列分成n 段，每段中

的个数依次记为

这里诸

服从几何

这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个

我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在

给定后

的

是等可能的，

即每一个出现的概率都是条件联合分布.

这个条件分布还表明:

当已知统计量

的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本

它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.

在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.

4． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:

【答案】由于其中

于是

而

故有

从而

5． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的

，

方差为与

的相关系数为

为的线性无偏估计量，故

是来自该总体的一个样本，

为的任一

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

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6． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，

证明：其分布函数F （X ）

有

【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知

由

对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图1表示:

，则

，则

图1

7． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

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