2018年山西大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
2． 总体
（1）证明
，其中
是充分统计量. 是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
3． 若因为
所以有
4． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
5． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
是的相合估计.
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
，即得.
由条件知所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
的方法知结论成立.
7． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
与的相关系数为
由
由于，