2017年南京邮电大学理学院814高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 4．
设
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
【答案】（C ） 【解析】设
【答案】（A ）
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
二、分析计算题
6． 证明:
【答案】设①式左端为
先加边，则
7． 主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵.
（1）设A 是一对称矩阵，T 为特殊上三角矩阵，而A 与B 的对应顺序主子式有相同的 值；
（2）证明:如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为0. 那么一定有一特殊上三角矩阵T 使对角形；
（3）利用以上结果证明定理7的充分性. 【答案】（1）将A 与T 表成分块矩阵：
其中
是S 级方阵
于是
成
其中，
是S 级方阵，并且
是特殊上三角矩阵.
即等于A 的第s 个顺序主子式，（2）对A 的级数作数学归纳法
.
时，结论显然成立. 设对
级实对称矩阵结论已成立.
令
设A 是n 级实对称矩阵且
于是B 的第s 个顺序主子式为
则是一个特殊上三角矩阵，而是特殊下三角矩阵
.
其中是一个实对称矩阵且其顺序主子式全不为0. 因此，根据数学归纳法假设，有
使得
级特
殊上三角矩阵
为对角矩阵. 令 则
是一个对角矩阵，而T 是两个特殊上三角矩阵的乘积，仍是特殊上三角矩阵. 根据归纳法原理，结论对一切n 级实对称矩阵都成立.
（3）设A 的顺序主子式全大于0, 于是由（2）有特殊上三角矩阵T 使
为对角矩阵：