2017年南京邮电大学理学院814高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
则A 与B （ ）.
【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
所以向量组
线性无关. 是（ ）二次型.
线性无关.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 求齐次线性方程组
并将之扩充为R4的标准正交基.
【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形
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的解空间（作为R4的子空间）的一组标准正交基，
方程组的一般解为
这里
再单位化，得W 的标准正交基
记A 的行向量为化，得
则
7． 求函数
在实单位球面上：所取的值.
【答案】由上题知
其中
分别为A 的最小特征值与最大特征值，A 为二次型f 对应的矩阵，
且
计算可得
当
时，得特征向量
单位化得
当
时，得特征向量
单位化得
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是自由未知量. 取解空间W 的基：先正交化，得
将正交化，标准
可扩充为R4的标准正交基
达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时z ，y ，z