当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，分别为A ，B 的伴随矩阵，

则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

第 2 页，共 45 页

）.

3． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.

A.1 B. C.-1 D.

故

但当a=l时，

5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

第 3 页，共 45 页

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶复方阵. 证明：存在一个n 维向量的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量

【答案】取且由

由于

使n 维向量组

则P 是可逆矩阵，

：线性无关，所以可令

使

线性无关的充要条件是A

可得

由此可得A 的不变因子为令

从而有A 的若当标准形

可见r

则

A

所以

的初等因子

为

所以A 的每个特征子空间的维数均为1, 即A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量

.

如果A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A

的任一特征根

从而A 的若当标准形

右

中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A 的特征多项式与最小多项式相等. 设A 的最小多项式为

第 4 页，共 45 页