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一、选择题

1． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

使

且由①式得

因此A 与B 合同.

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

【解析】因为当否则有

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

由上述知因此 4． 设

线性相关，所以线性相关，故选A.

则3条直线

（其中

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

）交于一点的充要条件是（ ）

.

于是

由秩A=2, 可知可由 5． 若

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

二、分析计算题

6． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有

【答案】根据本章习题10, 有正实数是正定矩阵，因此有正实数c 使

.

都是正定矩阵.

于是对任一个n 维实向量X ，都有

因此

从而有

7． 问：方阵

【答案】易知在复数域上，解

可否对角化？若可对角化，求可逆方阵C 使

为对角矩阵.

因此，

使

故A 的特征根（即特征多项式在复数域内的根）为：即

在有理数域或实数域上A 不能对角化，但在复数域上A 可对角化.

得一基础解系：再解

即

得一基础解系：令

便有

8． 设A 是n 级反对称阵，证明：

（1）当为奇数时，（2）A 的秩为偶数.

【答案】先证若A 是反对称阵，则有在实可逆阵T ，使

当n 为偶数时，

是一实数的完全平方；