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一、证明题

1． 证明公式

其中

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

2． 设X 为非负连续随机变量，若存在，试证明：

（1）（2）

这就证

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

3． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当

时, 有

因此有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

由于的任意性, 所以

4． 设总体为韦布尔分布

其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量这说明.

的分布函数为

5． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

时,

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

代回原式即得证.

6． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

7． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即 8． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

独立同分布, 且令, 试证明:其中（3为常

有

再由本节第3题知

, 试证:随机

【答案】