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一、证明题

1． 设总体

【答案】令

则

对上式求导易知，当

2． 设

是来自

时上式达到最小，最小值为的样本,

它小于的均方误差

是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

相互独立.

则

的联合密度函数为

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

相互独立,

且

其雅可比行列式绝对值为

, 联合密度

3． 设

【答案】因为离散场合,

当

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

. 取

, 它仍是随机变量. 在

由于在Y 取固定值时,

时, g （y ）以概率

也是常数, 故有

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

4． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

5． 设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

从而

故，由又可算得

从而

故

6． 若

【答案】由

即

更有效.

知两者均为的无偏估计. 所以

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

7． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

8． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

二、计算题

9． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=1，2，D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”.因为D 意味着：第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着：两件都是不合格品. 即

因为

所以根据题意得