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一、证明题

1． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

这正是参数为数为

（2）当所以

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3

）设得:

即

2． 设

证明： （1）

是

的有效估计；

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常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

时有

,

,

服从参

不能推得X 与Y 独立.

, 由相互独立性

都服从参数为的柯西分布,

则特征函数为

的特征函数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布. 是来自正态总体

的一个样本，若均值μ已知，

（2）【答案】（1）由

是知

的无偏估计，但不是有效估计.

为了获得

的元偏估计的C-R 下界，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

从

而

的元偏估计的C-R 下界

为故

不是

3． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

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由于无偏估

计的方

差

的有效估计. 此处

，的无偏估计的C-R

下界与

的方差的比为

该比值常称为无偏估计的效.

是

此处,

故

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

4． 总体

（1）证明

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

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为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围