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一、分析计算题

1． 设A 为n 阶方阵. 证明：

【答案】证法I 齐次线性方程组任一解，

即

则必

因若

的解显然是

设

再用

乘上式，又得

如此下去，即得

线性无关，矛盾. 因此必

同解. 于是由上题知（3）成立.

其中

为n 阶单位方阵。因此存在

同解.

的解是的解，即

的解. 反之，设

. 因此，

则

便是

的解，从

同解. 如此下

使

于是由上题知，又显然而由上知也是

的解反之，设

的

这说明n+1个n 元（列）向量与

同解.

同理可证

证法II 因为A 是n 阶方阵，故

去，

即知都同解. 再由上题即得（3）.

2． 设A , B分别是nxm ，mxn 矩阵，n 维向量X 满足

求解

【答案】则

将之扩充成W 的基

令

取W 。的基

下面证明

是V 的基. 事实上：

由（6-14）是W 的基，可设

两边右乘A , 得

故（6-15）是V 的生成元. 设

则

由（6-13）是

的基，可设

由（6-14）是W 的基，则综上所述，（6-15）是V 的基，

3． 在数域K 上的4维向量空间

内，给定向量组

（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成的维数和一组基. 【答案】（1）（2）由于故秩

（3）

4． 设c 实数

，是实数域上的n 维列向量，阵.

【答案】证法1:显然B 为对称阵，且当c>10时，显然，当c<0时，

证完. 证法2:显然又故所以又

于是

故（6-15）线性无关.

的子空间

线性相关.

的对应分量不成比例，因而线性无关. 又可由线性表出，

且为此生成子空间的一组基. 旺明：n 级矩阵

为实正定矩

时，

为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使

故

的特征值均为正数，结合

吋称即得其为正定矩阵.

5． 设

试证

是线性空间V 的一组基，是它的对偶基，

表出）.

是V 的一组基并求它的对偶基（用

【答案】可利用定理3. 计算

由于右端的矩阵的行列式.

则

I

故

是V 的一组基. 设

是

的对偶基，

即 6． 设

试就a , b 的各种取值情况，讨论非齐次方程组【答案】因为系数行列式（1）当

时，且

，所以

时，方程组有唯一解

（2）当a=0时，原方程组无解。

的解，如有解，并求出解。

（3）当时，原方程组有无穷解，其通解为其中k 为任意常数。

7． 设

试讨论p ，l 取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解。