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一、分析计算题

1． 设

数. 作线性方程组对任何

有解.

有解的充要条件是A 可逆

.

分别有解

令

所以A 可逆

.

同理可证:（II ）对任何

事实上，由

知

因此问题归结为证明

. 一

设对n 阶单位矩阵E 的第i

列，则有

【答案】首先证明，（I ）对任何

为数域P 上的n 阶方阵，满足条件

试证明方程组（I ）对任何

其中b 为一个非零常有解当且仅当（II ）

故有问题得证.

证明：

2． 设方阵E+A可逆，

【答案】①由②由上可知：

即得.

3． 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和.

【

答

案

】

取

此

空

间

V

的故

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一组

基又

显

然维

是n 个一维子空间

的直和.

4． 设

是11阶方阵，

【答案】

用第1列的倍加到第2列，使第2列的元素全变为0, 故

5． 设A 为n 阶实对称阵，且

称方阵？如是，说明理由；如不是，举出反例.

【答案】A 是正定的. 下证A 的任一特征值

从而

（1为n 阶单位阵）. 问：A 是否一定为正定实对

设是A 属于特征值的特征向量. 则

因为所以即

即A 的特征值全为1，所以A 为正定阵.

由于实对称阵的特征值均为实数，因而知 6． 设

是关于内积

正交化：易知

作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.

【答案】先将基

于是得正交基：

再标准化：由于

且

故得

的一标准正交基为：

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7． 设

设把D 的第j 行换为

1得

证明：

【答案】证法1（作加边行列式），因为

所以因为

以上各项相加，得

又将D 的第j 列元素均换成1得

则

8． 设T 是线性空间V 上线性变换，T 的核记为

（1）证明：

（2）若v 是n 维线性空间，证明：存在正整数k , 使得

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证法2 （借助代数余子式，先算出D , 再求和）

的象记为