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一、证明题

1．

设级数

满足：

加括号后级数符号相同，证明

【答案】因为所以

设

故

又当

存在，即

2． 设正项级数

(1) (2) 由

发散.

用分点单调性，得

从而

当

时，

即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散. 所以

有

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收敛

，亦收敛.

，

且在同一括号中的

收敛，所以其中则

存在. 对任意的

又因为括号内符号相同，

n ，存在k ，使

稩

时必有从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数. 发散

，

令

求证：

【答案】(1) 把

及

分成无限个小区间，在上，

(2) 方法一：

我们考虑级数

故级数

收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的

使于是对

故由收敛原理知

3． 证明下列结论：

(1) 设

(2) 设都存在.

【答案】(1)

对

又由

且当，所以

(2)

有

知

存在. 同理设对

由

故当

也存在

.

定义函数

则

在

上连续，从而一致连续，故

在

内一致连续.

在在在

时

有

时，

或者

上一致连续. 内一致连续，则

时有

对

当

时

由柯西收敛准则

或者

由柯西收敛准则

，

上连续，从而一致连续，

故对上述的

取

有

，

当

则

对

，

不论哪种情况均有

在

上连续，且

存在，则

在

在

I

上一致连续；

及

在有限开区间

内连续，则

内一致连续

发散.

4． 证明：函数

【答案】因为

只要

在区间上一致连续的充要条件是： 只要

就有

对上述从而

由

此即为

但

显然

，

取

可知

相但

在上一致连续，所以

，

就有

用反证法. 函数

在上不一致连续可表述为：

尽管

应地存

在

满

足

矛盾.

二、解答题

5． 设

求

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【答案】用泰勒公式，

两边积分可得

由此可得f （X ）的泰勒展开式

于是，有

若令

则上式可改写为

综上，有

其中I 为自然数.

6． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.

【答案】(1) 设物体质心为

由对称性知：

(2) 设四面体的质心坐标为

，由于物体密度均匀，且

因此

7．

设有一质量分布不均匀的半圆弧它对原点

(0，0) 处质量为m 的质点的引力.

【答案】设引力系数为k ，则对任一点(x , y) ，有

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(2) 由坐标面及平面所围的四

。其线密度(a 为常数) ，求