2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
其中f 为可微函数，验证
【答案】设
则
所以
2． 设连续函数
【答案】
用反证法. 若
(1)
若(2)
若(3) 若存在令所以存在(4) 若存在从而存在：
3． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
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其值域
则一定存在使
则可分四种情况讨论. 那么那么
使
则
使使
使.
即
这与假设
类似可得矛盾.
矛盾.
这与①式矛盾. 也与①式矛盾.
时
有
当时
有由
于连续，所
以
即
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
4． 设故只需考虑
故若当
在点证明数列
与级数_
收敛，必有时，有
与不可导，与
与级数
间的关系. 因为
收敛；若，同时发散；
当
故若
进而
收敛必有
收敛，即有
收敛；若，
. 发散，则有
发散，
发散，必有
时
发散.
相矛盾.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同，
【答案】注意到数列的敛散性与正项级数
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.
二、解答题
5． 对下列各函数计算
【答案】（1）（2）（3）
6． 计算下列广义积分
（1）（2）（3）
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因此因此因此
【答案】⑴
（2）令
则
于是有
（3）先求
由分部积分公式，可得
所以
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