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一、证明题

1． 设f （x ）在

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

【答案】

,

由

, 有

对其取极限可得

由已知条件有

2． 证明:

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

由 3． 设

【答案】

由题设

可知

于是原命题得证.

4． 证明:函数

【答案】因为

又

在

故

上连续, 且有连续的导函数. 在

上一致收敛.

在

上连续.

证明:

介于1与之间.

,

得, 但

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

上不一致连续.

满

足

在[a, b]上一致连续, 但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

.

. 若

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

上连续（n=1, 2, …）, 故

由及

在上连续可知,

则由定理可知

一致收敛且和函数连续. 设

即f （x ）连续且具有连续的导函数.

5． 证明:点列时

,

故从而

即

收敛于

的充要条件是收敛

于

和侧对任给

的

存在N , 当n>N

【答案】必要性 设点

列

同理

充分性 设因此

故点列

6． 设悬链方程为A （t ）.

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

证明（:1）

【答案】（1）由弧长公式得

由定积分的几何意义可得

（2）旋转体体积为

侧面积为

（2）

（3）

它在

上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、

收敛于

则对任给

存在N , 当n>N时,

所以

（3）x=t处的截面面积为 所以

二、解答题

7． 求下列极限:

（1）

;

（2）.

【答案】（1

）和式中的被加项的通项为

可得

原极限

（2）和式中的被加项的通项为得

原极限

易见, 当

,

易见当时,

它与等价.

用

代替

时, 它与

等价. 用

代替

可

.

8． 将函数

（1）按余弦展开; （2）按正弦展开. 【答案】（1）将展开.

这时

, 且

, 按如下要求展开为傅氏级数:

进行偶开拓, 也就是考虑f （x ）=x（

2

）的傅氏