2016年湖南师范大学物理与信息科学学院高等数学复试复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
2． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
3． 求下列欧拉方程的通解：
说明令记则
【答案】（1）令
记
则原方程化为
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或则
即
特征方程
为
即原方程的通解为
（2）原方程可改写
成
即
有特征
根故方程（1）有通
解
令
即
，则
记则方程化
为
有特征根
故方程
方程（2）对应的齐次方程的特征为（2）对应的齐次方程的通解为
因
是特征（二重）根。设
代入方程（2）中可得A=1，即
即原方程的通解为
（3）令其方程特征为即
即原方程的通解为
（4）令
记
则方程可化为有根
记
则方程可化为
故方程（2）的通解为
故方程（3）的通解为
即
有根
故齐次方程的通
是（4）的特解。代入方
方程（4）对应的齐次方程的特征方程为解为
因
，比较系数得程（4）
于是方程（4）的通解为即原方程的通解为（5）令
记
则方程化为
不是特征方程的根，故可令
即
即
有根
故齐次方程的通解为
方程（5）对应的齐次方程的特征方程为
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因不是特征方程的根，故可令
中，得
是方程（5）的特解，即即
故原方程的通解为
是
原方程的特解，代入原方程
（6）令记则原方程化为
有根
即
故齐次方程的通解为
是方程（6）
于是方程（6）的通解为
方程（6）对应的齐次方程的特征方程为
因
不是特征方程的根，
故可令
即
的特解，代入方程（6）并比较系数，可得
即原方程的通解为
（7）令
记
则原方程可化为
即
方程（7
）对应的齐次方程的特征方程为
因
知，可
令
比较系数，
得
（7）的通解为
即原方程的通解为
（8）令
记
则原方程可化为
不是特征方程的根，故方程
特征方程的（二重）根，故方程
有根
的特解可令作
故齐次方程的通解为
的特解
而
是
由叠加原理可
，
得是方程（7）的特解，代入方程（7）
即
于是方程
即
有根
故齐
由叠加原理，
是原方
方程（8）对应的齐次方程的特征方程为次方程的通解为
对方程
可令
程的特解，并有
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因
不是特征方程的单根，可令是方程（8）的特解，即令