2016年华南师范大学数学科学学院01302高等数学基础复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ，求这截锥体的体积。
【答案】用与下底相距z 且平行于底面的平面去截该立体得到一个椭圆，记其半轴长分别为u 、v ，则
，
2． 建立以点（1，3，﹣2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.
【答案】设以点（1，3，﹣2）为球心，R 为半径的球面方程为
球面过原点，故
从而所求球面方程为
3． 将绕在圆（半径为a ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（如图），细线端点画出的, y=a, 算出这曲线上相应于轨迹叫做圆的渐伸线。它的方程为x=a（cost+tsint）（sint-tcost ）的一段弧的长度。
，该椭圆面积为
，因此体积为
图
【答案】
4． 计算下列极限：
（1）
；
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，，
因此有。
（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当
时，
当故不论（2）（3）（4）（5）（6）
5． 求函数
时，
为何值，均有
的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。
【答案】因为
,
故
, 其中介于x 与-1之间。
6． 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线密度为
上一段弧
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与直线所围成，它的面
。求这薄片的质量。
，即
【答案】薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域D 上的二重积分（图）
图
二、证明题
7． 利用二重积分定义证明:
（其中
；
为D 的面积）
；
（其中K 为常数）
其中
共内点的闭区间。
【答案】（l ）由于被积函数分f （x ，y ）=1，故由二重积分定义得
为两个无公
（2）
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